Numero 07

Chi ha detto che la matematica non è creatività?

Nella puntata precedente abbiamo ricordato che Euclide è riuscito a riunire tutto lo scibile matematico del suo tempo nei tredici libri de Gli Elementi. Vediamone il contenuto.
Nei libri I, III, IV, XI XII, XIII è riportata tutta la geometria piana e solida, quella che ci hanno insegnato a scuola. Vi ritroviamo, infatti, risultati come “la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°” e il famoso Teorema di Pitagora.

In particolare, il XIII libro è dedicato ai cinque poliedri regolari: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro.

Di questi si era già occupato Platone dicendo che erano gli unici poliedri regolari inscrivibili in una sfera; Euclide toglie ogni dubbio e dimostra, in maniera inequivocabile, che non ne esistono altri.
Il V e il VI libro si occupano delle proporzioni e delle figure simili ed è qui che ritroviamo i due teoremi citati nella prima parte, ma anche le frazioni.
I libri VII, VIII e IX affrontano la teoria dei numeri naturali, quelli del tipo 0, 1, 2, 3... e le loro proprietà; in questi libri troviamo, per esempio, una tecnica di calcolo del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo ed alcuni risultati fondamentali come la proposizione per cui i numeri primi sono infiniti. Infatti, pensate a numeri che sono divisibili solo per se stessi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Riuscirete sempre a trovare un nuovo numero più grande degli altri anche lui primo. Questo è il motivo per cui i numeri primi sono infiniti.
Per la matematica moderna affrontare concetti come l’infinito non è poi tanto speciale; ma si è tentati di credere che le civiltà del passato non possedessero tale “apertura” verso l’infinito. Infatti, il procedimento chiamato metodo di esaustione di Euclide dimostra il contrario. L’idea è di Eudosso, altro importante matematico, ed Euclide la riporta per calcolare l’area di un cerchio. Il metodo consiste nell’inscrivere in un cerchio prima un quadrato e calcolare l’area di questo per approssimare quella del cerchio. Successivamente se sostituiamo un pentagono al quadrato, il valore dell’area del pentagono sarà ancora più vicino a quella del cerchio. Se il numero dei lati della figura inscritta aumentassero sempre di più (e magari fino all’infinito), la misura dell’area del poligono di turno diventerebbe sempre più vicina a quella del cerchio. Potrebbe sembrare un processo un po’ laborioso, ma la stessa tecnica è alla base, oggi, del calcolo integrale.
Nella prima parte di questo articolo, ho già citato i numeri irrazionali, che hanno infinite cifre dopo la virgola. Euclide non li esclude dal suo trattato, ma considera solo quelli rappresentabili graficamente, fedele al ragionamento geometrico della matematica. Il libro dedicato al loro studio è il X.
E arriviamo all’ultimo dei libri che mancava all’appello: il II.
Questo è il libro in cui è più preponderante l’aspetto geometrico della realtà matematica. Qui ogni numero è un segmento di retta. Anche le quattro operazioni hanno una visione geometrica. Per esempio l’addizione tra due naturali si ottiene prolungando il segmento corrispondente al primo numero di una quantità pari al secondo numero;
la sottrazione si ha togliendo al primo segmento un segmento di lunghezza pari al secondo;
il prodotto di due numeri è semplicemente l’area del rettangolo che ha come lati i due segmenti corrispondenti; infine, la divisione è vista come proporzione tra segmenti.
Ma Euclide va oltre le quattro operazioni: dimostra in chiave geometrica l’elevazione al quadrato di un numero interpretandola come l’area del quadrato di lato uguale a quel numero, ma anche alcuni risultati di algebra, come il quadrato di un binomio, (a + b)2, identificando ancora una volta a e b come segmenti. Il procedimento usato da Euclide nella dimostrazione rispecchia in modo figurativo quello moderno, prettamente astratto perché costruito ragionando su “lettere” e non su “figure” geometriche.

Credo che a questo punto vi sarete resi conto di quanto Euclide sia stato indispensabile per la storia della matematica.
A volte presi dal presente e in tensione verso il futuro, perdiamo di vista il passato, cioè tutte quelle piccole conquiste che ci hanno portato lì dove siamo adesso. Euclide fa il punto della situazione, ordina ed organizza il passato in modo da potersi proiettare nel futuro consapevole di quanto si è raggiunto. Senza il suo contributo avremmo sicuramente perso una grande parte della storia del pensiero umano ed ha permesso a chi è venuto dopo di lui di partire da solide basi, anche se non sempre corrette.
I... ma qui ci addentriamo troppo nello specifico...
Euclide ha raccolto un’immensità di strumenti matematici; ma è solo questo l’aiuto che può darci?
Come spesso capita, nulla arriva per caso ed infatti la scelta di parlare di Euclide in questi articoli non è stata fatta solo per il motivo sopraccitato. Euclide è un rappresentante di un modello di ragionamento basato sull’inventiva e la creatività umana.
Non solo: riuscire a seguire un ragionamento logico significa anche imparare a pensare, ad affrontare gli ostacoli che la vita ci mette di fronte quotidianamente. E non ci spaventano più perché il saper cosa pensare e soprattutto quale percorso seguire ci porta a trovare le giuste soluzioni agli ostacoli.
Ed allora, siete ancora così sicuri che la matematica non serva a nulla e che manchi di creatività?

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